Задача сходимости при сближении.

 

Согласно Зенону Элейскому, Ахиллес никогда не догонит черепаху, ибо пока он доберется до того места, где она была в начале движения, черепаха отползет дальше. И такая ситуация будет повторяться бесконечно. Как бы ни была мала дистанция между ними, она не станет равной нулю.

 

Я вспомнил об этой апории не для того, чтобы включиться в дискуссию, которая ведется уже 2,5 тыс. лет по поводу физического, математического или философского смысла истории с Ахиллесом и черепахой. Просто эти образы удобны для изложения и понимания задачи, которой я занимался в начале 80-ых.

 

Итак, по сюжету. Зенон, как и его последователи и критики негласно предполагают, что черепаха двигается по прямой, никуда не отклоняясь, и потому Ахиллес всегда знает о том, куда она ползет и куда ему надо бежать. Кабы это было не так, задача не имела бы смысла. Черепаха может свернуть с пути, Ахиллес пробежит мимо, не столкнувшись с ней, не заметив. Если же есть информация о направлении - пусть ползет, куда хочет. Однако, когда информация поступает нерегулярно, встреча может не состояться по другой причине. Из-за запаздывания информации, Ахиллес может так далеко отклоняться в сторону, что уже не сможет вернуться. Т.е. информация о движении (обратная связь) может оказаться важной.

 

Пусть все-таки черепаха двигается по прямой. Но факт встречи определим более конкретно и точно - точка на линии движения, плюс/минус сажень. Тогда Ахиллесу придется по мере приближения умерить свой шаг, иначе он все время будет переступать (перешагивать, перепрыгивать) через черепаху - даже располагая информацией о том, где она находится. При замедлении движения возникает еще одна проблема - если шаг уменьшть слишком быстро, Ахиллес опять-таки может попасть не туда, куда стремлся. Даже если черепаха тоже будет укорачивать свое медленное движение.

 

Наконец, еще один нюанс. Движение черепахи не зависит от Ахиллеса. Она может двигаться быстрее или медленнее, может постоять на месте или вовсе повернуть вспять. Скорость движения Ахиллеса тоже может зависеть от внешних обстоятельств -  дорога плохая или хорошая, сильный ветер, что-то отвлекает... Все это непременно надо учитывать, когда место встречи задается как точка.

          

Когда все учтено, можно формулировать задачу математически. Имеется независимые функции Z(X) (путь черепахи), и Y(X) (путь Ахиллеса). По древнегреческой традиции, будем считать, что изменение величины X происходит по дихотомии - ΔX, 0.5ΔX, 0.25ΔX..., направление изменения (+/-) этого параметра можно задавать. Задача сводится к определению для каждого шага такого правила манипулирования направлением изменения аргумента X_i в зависимости от величины Z(X_i), чтобы через конечное число шагов m установилось с заданной погрешностью равенство Z(X_m)=Y(X_m). Кроме того, следует определить (по возможности, априорно) условия сходимости этого процесса.

                                           

Задача была решена, результат опубликован в журнале "Электронное моделирование" (1989 Т11 N4, Киев, изд. "Наукова думка"), статья "Проектирование вычислительных устройств с поразрядной обработкой информации".

 

25.09.2009